Die Sätze des Euklid gelten uneingeschränkt in der euklidischen Ebene.
Diese euklidische Ebene ist ein idealisiertes Abbild der altäglichen Erfahrungswelt. Es gibt "Dreiecke" mit einer Innenwinkelsumme von 270°, nämlich auf einer Kugel.
Der Kreis ist in der euklidischen Ebene über den Abstandsbegriff definiert. Er braucht keine Charakterisierung als "rund", da dies eine implizite Eigenschaft der Definition ist, ZUMINDESTENS solange der Kreis sich in der euklidischen Ebene befindet, welche ja unter anderem auch durch Homogenität und Isotropie ausgezeichnet ist. Homogenität und Isotropie sind aber keineswegs zwangsläufig und entspringen ebenfalls der Methode der Idealisierung. Zudem ist ein Kreis lediglich aus genau einer Perspektive "rund"! Es gibt aber noch unendlich viele andere Perspektiven in denen ein Kreis wie eine Ellipse erscheint und vielmehr ist ein Kreis auch nur eine spezielle Ellipse.
Eine weitere Frage muss hier lauten, was denn überhaupt ein Abstand ist und wie er sich feststellen lässt... geht man hier den Weg über Geschwindigkeiten und Zeiten so ist man schneller in der speziellen Realitivitätstheorie angekommen, als einem Lieb sein kann. Der übliche, lineare Maßstab kann nur sehr unbefriedigend herangezogen werden...
Der Kreis als Symbol der totalen Harmonie erfüllt im üblichen Erfahrungsraum ein Stück weit eine Welterklärungsrolle, die nicht besonders fehlgeleitet ist, dass muss ich zugeben. Hier schwebt allerdings immer etwas Unausgesprochenes und Mystisches mit. Der Kreis bleibt jedoch im Nachhinein ein idealisiertes, als Resultat von beobachteten Ähnlichkeiten gewonnenes Produkt. Für die Natur gibt es keinen Grund sich streng mathematisch zu verhalten. Den Mathematik ist lediglich ein Kind der Logik, welche das Resultat unserer Erfahrung ist. Öffensichtlich sagt die Natur aber viel öfter "vielleicht", als es uns lieb sein kann. Das "Vielleicht" ist von uns zu berücksichtigen, was ja auch getan wird in der Quantenphysik.
Fazit:
Würden wir in einer anderen Welt leben, wäre unsere Mathematik eine andere und es würde niemand davon reden, dass wir schon apriori "wüssten", was ein Kreis ist. Man kann die Welt nicht durch Logik allein ergründen, denn diese ist ja selbst nur ein Kind dieser Welt und wir setzten die Welt bei der Verwendung der Logik mit um.